高三数学下学期理科试题 - 分类汇编三角函

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本文题目：高三数学下学期理科试题：分类汇编三角函

一、选择题

1.【2012高考重庆理5】设 是方程 的两个根，则 的值为

(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3

【答案】A

【解析】因为 是方程 的两个根，所以 ， ，所以 ，选A.

2.【2012高考浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是

【答案】A

【解析】把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1=cosx+1，向左平移1个单位长度得：y2=cos(x+1)+1，再向下平移1个单位长度得：y3=cos(x+1).令x=0，得：y30;x= ，得：y3=0;观察即得答案.

3.【2012高考新课标理9】已知 ，函数 在 上单调递减.则 的取值范围是( )

【答案】A

【解析】法1：函数 的导数为 ，要使函数 在 上单调递减，则有 恒成立，

则 ，即 ，所以 ，当 时， ，又 ，所以有 ，解得 ，即 ，选A.

法2：选

不合题意 排除

合题意 排除

另： ，

得：

4.【2012高考四川理4】如图，正方形 的边长为 ，延长 至 ，使 ，连接 、 则 ( )

A、 B、

C、 D、

【答案】B

【解析】 ，

，

，

由正弦定理得 ，

所以 .

[点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.

5.【2012高考陕西理9】在 中，角 所对边长分别为 ，若 ，则 的最小值为( )

A. B. C. D.

【答案】C.

【解析】由余弦定理知 ，故选C.

6.【2012高考山东理7】若 ， ，则

(A) (B) (C) (D)

【答案】D

【解析】法1：因为 ，所以 ， ，所以 ，又 ，所以 ， ，选D.

法2：由 及 可得

，

而当 时 ，结合选项即可得 .答案应选D。

7.【2012高考辽宁理7】已知 ， (0，π)，则 =

(A) 1 (B) (C) (D) 1

【答案】A

【解析一】

，故选A

【解析二】

，故选A

【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。

8.【2012高考江西理4】若tan + =4,则sin2 =

A. B. C. D.

【答案】D

【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。

【解析】由 得， ，即 ，所以 ，选D.

【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式 转化;另外， 在转化过程中常与"1"互相代换，从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等.

9.【2012高考湖南理6】函数f(x)=sinx-cos(x+ )的值域为

A. [ -2 ,2] B.[- , ] C.[-1,1 ] D.[- , ]

【答案】B

【解析】f(x)=sinx-cos(x+ ) ，

， 值域为[- , ].

【点评】利用三角恒等变换把 化成 的形式，利用 ，求得 的值域.

10.【2012高考上海理16】在 中，若 ，则 的形状是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

【答案】C

【解析】根据正弦定理可知由 ,可知 ，在三角形中 ，所以 为钝角，三角形为钝角三角形，选C.

【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.

11.【2012高考天津理2】设 则" "是" 为偶函数"的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分与不必要条件

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.

【解析】函数 若为偶函数，则有 ,所以" "是" 为偶函数"的充分不必要条件，选A.

12.【2012高考天津理6】在 中，内角A，B，C所对的边分别是 ，已知8b=5c，C=2B，则cosC=

(A) (B)

(C) (D)

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.

【解析】因为 ,所以 ,根据正弦定理有 ，所以 ，所以 。又 ，所以 ，选A.

13.【2012高考全国卷理7】已知α为第二象限角， ，则cos2α=

(A) (B) (C) (D)

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用。首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为单角的正 弦值和余弦值的问题。

【解析】因为 所以两边平方得 ，所以 ，因为已知α为第二象限角，所以 ， ，所以 = ，选A.

二、填空题

14.【2012高考湖南理15】函数f(x)=sin ( )的导函数 的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.

(1)若 ，点P的坐标为(0， )，则 ;

(2)若在曲线段 与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 .

【答案】(1)3;(2)

【解析】(1) ，当 ，点P的坐标为(0， )时

;

(2)由图知 ， ，设 的横坐标分别为 .

设曲线段 与x轴所围成的区域的面积为 则 ，由几何概型知该点在△ABC内的概率为 .

【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，(1)利用点P在图像上求 ，

(2)几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.

15.【2012高考湖北理11】设△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， . 若 ，则角 .

【答案】

考点分析：考察余弦定理的运用.

【解析】

16.【2012高考北京理11】在△ABC中，若 =2，b+c=7，cosB= ，则b=_______。

【答案】4

【解析】在△ABC中，利用余弦定理 ，化简得： ，与题目条件 联立，可解得 .

17.【2012高考安徽理15】设 的内角 所对的边为 ;则下列命题正确的是

①若 ;则 ②若 ;则

③若 ;则 ④若 ;则

⑤若 ;则

【答案】①②③

【命题立意】本题解三角形的知识，主要涉及余弦定理与基本不等式的运算。

【解析】正确的是

①

②

③当 时， 与 矛盾

④取 满足 得：

⑤取 满足 得：

18.【2012高考福建理13】已知△ABC得三边长成公比为 的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.

【答案】 .

【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识，难度适中.

【解析】设最小边长为 ，则另两边为 .

所以最大角余弦

19.【2012高考重庆理13】设 的内角 的对边分别为 ，且 ， , 则

【答案】

【解析】因为 , ,所以 ， ， ,根据正弦定理 得 ,解得 .

20.【2012高考上海理4】若 是直线 的一个法向量，则 的倾斜角的大小

为 (结果用反三角函数值表示)。

【答案】

【解析】设倾斜角为 ，由题意可知，直线的一个方向向量为(1,2)，则 ，

∴ = 。

【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.

21.【2012高考全国卷理14】当函数 取得最大值时，x=___________.

【答案】

【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用，求解值 域的问题。首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。

【解析】函数为 ，当 时， ，由三角函数图象可知，当 ，即 时取得最大值，所以 .

22.【2012高考江苏11】(5分)设 为锐角，若 ，则 的值为 ▲ .

【答案】 。

【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。

【解析】∵ 为锐角，即 ，∴ 。

∵ ，∴ 。∴ 。

∴ 。

∴

。

三、解答题

23.【2012高考新课标理17】(本小题满分12分)

已知 分别为 三个内角 的对边，

(1)求 (2)若 ， 的面积为 ;求 .

【答案】(1)由正弦定理得：

(2)

24.【2012高考湖北理17】(本小题满分12分)

已知向量 ， ，设函数 的图象关于直线 对称，其中 ， 为常数，且 .

(Ⅰ)求函数 的最小正周期;

(Ⅱ)若 的图象经过点 ，求函数 在区间 上的取值范围.

【答案】(Ⅰ)因为

.

由直线 是 图象的一条对称轴，可得 ，

所以 ，即 .

又 ， ，所以 ，故 .

所以 的最小正周期是 .

(Ⅱ)由 的图象过点 ，得 ，

即 ，即 .

故 ，

由 ，有 ，

所以 ，得 ，

故函数 在 上的取值范围为 .

25.【2012高考安徽理16】)(本小题满分12分)

设函数 。

(I)求函数 的最小正周期;

(II)设函数 对任意 ，有 ，且当 时， ，求函数 在 上的解析式。

【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力。

【解析】

，

(I)函数 的最小正周期

(2)当 时，

当 时，

当 时，

得函数 在 上的解析式为 。

26.【2012高考四川理18】(本小题满分12分)

函数 在一个周期内的图象如图所示， 为图象的最高点， 、 为图象与 轴的交点，且 为正三角形。

(Ⅰ)求 的值及函数 的值域;

(Ⅱ)若 ，且 ，求 的值。

【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想.

[解析](Ⅰ)由已知可得：

=3cosωx+

又由于正三角形ABC的高为2 ，则BC=4

所以，函数

所以，函数 。……………………6分

(Ⅱ)因为 (Ⅰ)有

由x0

所以，

故

………………………………………………………12分

27.【2012高考陕西理16】(本小题满分12分)

函数 ( )的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ，

(1)求函数 的解析式;

(2)设 ，则 ，求 的值。

【解析】(Ⅰ)∵函数 的最大值是3，∴ ，即 。

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，∴最小正周期 ，∴ 。

故函数 的解析式为 。

(Ⅱ)∵ ，即 ，

∵ ，∴ ，∴ ，故 。

28.【2012高考广东理16】(本小题满分12分)

已知函数 ，(其中ω0，x∈R)的最小正周期为10π.

(1)求ω的值;

(2)设 ， ， ，求cos(α+β)的值.

【答案】本题考查三角函数求值，三角恒等变换，利用诱导公式化简三角函数式与两角和的余弦公式求值，难度较低。

【解析】(1)

(2)

29.【2012高考山东理17】(本小题满分12分)

已知向量 ，函数 的最大值为6.

(Ⅰ)求 ;

(Ⅱ)将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象.求 在 上的值域.

解：(Ⅰ)

因为 ，

由题意知 .

(Ⅱ)由(I)

将 的图象向左平移 个单位后得到

的图象;

再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到

的图象.

因此

，

因为

，

所以

，

所以

，

所以 在 上的值域为 .

30.【2012高考北京理15】(本小题共13分)已知函数 。

(1)求 的定义域及最小正周期;

(2)求 的单调递减区间。

解(1)： 得：函数 的定义域为

得： 的最小正周期为 ;

(2)函数 的单调递增区间为

则

得： 的单调递增区间为

31.【2012高考重庆理18】(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)

设 ，其中

(Ⅰ)求函数 的值域

(Ⅱ)若 在区间 上为增函数，求 的最大值.

解：(1)

因 ，所以函数 的值域为

(2)因 在每个闭区间 上为增函数，故 在每个闭区间 上为增函数。

依题意知 对某个 成立，此时必有 ，于是

，解得 ，故 的最大值为 。

32.【2012高考浙江理18】(本小题满分14分)在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA= ，sinB= cosC.

(Ⅰ)求tanC的值;

(Ⅱ)若a= ，求 ABC的面积.

【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。

(Ⅰ)∵cosA= 0，∴sinA= ，

又 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA

= cosC+ sinC.

整理得：tanC= .

(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC= .

又由正弦定理知： ，

故 . (1)

对角A运用余弦定理：cosA= . (2)

解(1) (2)得： or b= (舍去).

∴ ABC的面积为：S= .

33.【2012高考辽宁理17】(本小题满分12分)

在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。

(Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求 的值。

【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列概念、正余弦定理应用，是容易题.

【解析】(1)由已知 ……6分

(2)解法一： ，由正弦定理得

解法二： ， ，由此得 得

所以 ， ……12分

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。

34.【2012高考江西理17】(本小题满分12分)

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知

(1)求证：

(2)若 ，求△ABC的面积。

解：(1)证明：由 及正弦定理得：

，

即

整理得： ，所以 ，又

所以

(2) 由(1)及 可得 ，又

所以 ，

所以三角形ABC的面积

【点评】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等;二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.

35.【2012高考全国卷理17】(本小题满分10分)

三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos(A-C)+cosB=1，a=2c，求c.

【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用，给出两个公式，一个是边的关系，一个角的关系，而求解的为角，因此要找到角的关系式为好。

【解析】由 ，

由正弦定理及 可得

所以

故由 与 可得

而 为三角形的内角且 ，故 ，所以 ，故 。

【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理和余弦定理，求解三角形中的角的问题。试题整体上比较稳定，思路也比较容易想，先将三角函数关系式化简后，得到 角关系，然后结合 ，得到两角的二元一次方程组，自然很容易得到角 的值。

36.【2012高考天津理15】(本小题满分13分)

已知函数

(Ⅰ)求函数 的最小正周期;

(Ⅱ)求函数 在区间 上的最大值和最小值.

【解析】(1)

函数 的最小正周期为

(2)

当 时， ，当 时，

【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.

37.【2012高考江苏15】(14分)在 中，已知 .

(1)求证： ;

(2)若 求A的值.

【答案】解：(1)∵ ，∴ ，即 。

由正弦定理，得 ，∴ 。

又∵ ，∴ 。∴ 即 。

(2)∵ ，∴ 。∴ 。

∴ ，即 。∴ 。

由 (1) ，得 ，解得 。

∵ ，∴ 。∴ 。

【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

【解析】(1)先将 表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。

(2)由 可求 ，由三角形三角关系，得到 ，从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值。

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