2017届高三数学第一次联考理试卷带答案

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一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

1．已知集合 ， 为虚数单位，则下列选项正确的是

A． B． C． D．

2．已知集合 ， ，则 为

A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）

3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是

A．①③ B．②④

C．①② D．③④

4．已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，

若实数 满足 ，则 的取值范围是

A． B． C． D．

5．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数

A． B．

C． D．

6．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝

A．4 B．5 C．6 D．7

7．下列命题中是假命题的是

A． ，使函数 是偶函数;

B． ，使得 ;

C． ，使 是幂函数，且在 上递减;

D． ．

8．若函数 的图象

如图所示，则

A． B．

C． D．

9．已知函数 的一条对称轴为直线 ，则要得到函数 的图象，只需把函数 的图象

A．沿 轴向左平移 个单位，纵坐标伸长为原来的 倍

B．沿 轴向右平移 个单位，纵坐标伸长为原来的 倍

C．沿 轴向左平移 个单位，纵坐标伸长为原来的 倍

D．沿 轴向右平移 个单位，纵坐(高中学习网WwW.GaoZhong.CC/)标伸长为原来的 倍

10．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则 的最小值为（ ）

A . B． C． D．

11．若点P是曲线 上任意一点，则点P到直线 的最小距离为

A．1 B． C． D．

12．已知函数 ，其中 ，若对 ，

，使得 成立，则实数 的最小值为

A． B． C．6 D．8

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）．

13．计算 __ ▲▲▲ ．

14．已知 ，设函数 ，

则 __ ▲▲▲ ．

15．若函数 的定义域为 ，其值域为 ，则这样的函数 有__ ▲▲▲ ．个．（用数字作答）

16．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边 上有10个不同的点 …… ,则 =__ ▲▲▲ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

17．（本小题满分12分）已知向量 ，函数 ．

（1）若 ， ，求 的值；

（2）在 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，求角B的取值范围．

18．（本小题满分12分）在一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下定义域为 的函数：

，

（1）现在从盒子中任意取两张卡片，记事件A为“这两张卡片上函数相加，所得新函数是奇函数”，求事件A的概率；

（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为 ，写出 的分布列，并求其数学期望 ．

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．

（1）求证：BE∥平面PDF；

（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；

（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率 ，且点 在椭圆 上．

（1）求椭圆 的方程；

（2）若点 、 都在椭圆 上，且 中点 在线段 （不包括端点）上．求 面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数 ．

（1）若曲线 过点 ，求曲线 在点 处的切线方程；

（2）求函数 在区间 上的最大值；

（3）若函数 有两个不同的零点 ，求证：

请考生在第22～24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分．

22、(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，AB为圆 的直径，P为圆 外一点，过P点作PC AB于C，交圆 于D点，PA交圆 于E点，BE交PC于F点．

（1）求证： P= ABE；

（2）求证：CD2=CF?CP．

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为 （ 为参数），曲线C2的极坐标方程为： ，若曲线C1与C2相交于A、B两点．

（1）求|AB|的值；

（2）求点 到A、B两点的距离之积．

24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数 ．

（1）若 ，求不等式 的解集；

（2）若方程 有三个不同的解，求 的取值范围．

2017届高三数学五校联考（理科数学）

参考答案

一.选择:（12×5=60）

题号123456789101112

答案CAACABDDACBD

二：填空(4×5=20)

13. 2 14 5 15. 243 16. 180

三、解答题（本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17. 解：（Ⅰ）

= ………2分

，又 ……4分

………6分

（Ⅱ）由 得 …………………8分

………10分

………12分

18． 解：（1）由题意得 是奇函数， 为偶函数， 为非奇非偶函数，所以P（A）= ………………（4分）

（2）由题意可知， 的所有可能取值为1,2,3,4

P（ ）= ,P（ 2）= ,P（ ）= = ,

P（ ）= ………………（8分）

所以 的分布列为：

1234

P

………………（10分

所以E =1 + +3 +4 = 。………………（12分）

19． 解：（Ⅰ）证明：取PD中点为M，连ME，MF．

∵E是PC的中点∴ME是△PCD的中位线，

∴ME平行且等于 ．∵F是AB中点且ABCD是菱形，∴AB平行且等于CD，∴ME平行且等于 ．

∴ME平行且等于FB∴四边形MEBF是平行四边形．从而BE∥MF．

∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，

∴BE∥平面PDF．……………………（4分）

（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，

∴DF⊥PA．连接BD，

∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．

∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．

∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．

∵DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．……………………（8分）

（Ⅲ）解：建立如图所示的坐标系，则P（0，0，1），C（ ，3，0），D（0，2，0），

F（ ， ，0）由（Ⅱ）知DF⊥平面PAB，

∴ 是平面PAB的一个法向量，设平面PCD的一个法向量为

由 ，且由

在以上二式中令 ，则得x=﹣1， ，

∴ ．设平面PAB与

平面PCD所成锐角为θ，则cosθ= =

故平面PAB与平面PCD所成的锐角为60°．……………………（12分）

20． 解：（1）由题意得： ………2分

所以椭圆C的方程为 ………4分

（2）①法一、设 ，直线AB的斜率为

则 ………6分

又直线 : , 在线段 上, 所以 所以 ………8分

法二、设 ，直线AB的方程为 ，

则

由题意， 所以 ………6分

又直线 : , 在线段 上,

所以 ，所以 ………8分

法三、设 ，直线AB的方程为

则

由题意， 所以 ………6分

又直线 : , 在线段 上,

所以 在直线 上

解 得： ………8分

设直线AB的方程为 ，

则 ，所以 ………9分

所以 ,原点到直线的距离 …10分

当且仅当 时，等号成立.，所以 面积的最大值 …12分

21． 解：（1）因为点P（1，﹣1）在曲线y=f（x）上，所以﹣m=﹣1，解得m=1．

因为f′（x）= ﹣1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y=﹣1．……（3分）

（2）因为f′（x）= ﹣m= ．

①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，

则f（x）max=f（e）=1﹣me．

②当 ≥e，即0＜m≤ 时，x∈（1，e），f′（x）＞0，

所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max=f（e）=1﹣me．

③当1＜ ＜e，即 ＜m＜1时，

函数f（x）在（1， ）上单调递增，在（ ，e）上单调递减，

则f（x）max=f（ ）=﹣lnm﹣1．

④当 ≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，

函数f（x）在（1，e）上单调递减，则f（x）max=f（1）=﹣m．

综上，①当m≤ 时，f（x）max=1﹣me；

②当 ＜m＜1时，f（x）max=﹣lnm﹣1；

③当m≥1时，f（x）max=﹣m．……（8分）（分类时，每个1分，综上所述1分）

（3）不妨设x1＞x2＞0．

因为f（x1）=f（x2）=0，所以lnx1﹣mx1=0，lnx2﹣mx2=0，

可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1﹣lnx2=m（x1﹣x2）．

要证明x1x2＞e2，即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．

因为m= ，所以即证明 ＞ ，

即ln ＞ ．令 =t，则t＞1，于是lnt＞ ．

令 （t）=lnt﹣ （t＞1），则 ′（t）= ﹣ = ＞0．

故函数 （t）在（1，+∞）上是增函数，

所以 （t）＞ （1）=0，即lnt＞ 成立．所以原不等式成立．…（12分）

请考生在第22～24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分．

22、证明：（Ⅰ） ，所以在 中， 在 中, 所以 ……………………………….5分

（Ⅱ）在 中， ，由①得 ∽ ,∴ ,

∴ ,所以CD2=CF?CP。………………….10分

23． 解：(Ⅰ) ,则 的参数方程为：

为参数），代入 得 ，

…………6分

(Ⅱ) . ……….10分

24． 解：（Ⅰ） 时， ，……（2分）

∴当 时， 不合题意；……（3分）

当 时， ，解得 ；……（4分）

当 时， 符合题意．……（5分）

综上， 的解集为 ．……（6分）

（Ⅱ）设 ， 的图象和 的图象如图：……（8分）

易知 的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与 的图象始终有3个交点，从而 ．……（10分）

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