2014上海交大附中年高一数学下学期期末考试试卷答案

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高一数学下学期期末考试试卷答案

一、填空题(本大题共12题，每题3分，满分36分)

1. 数列 的一个通项公式为           .

【答案】

试题分析：因为数列 可看做 因此该数列一个通项公式为 .

2. 若三个数 成等比数列，则m=________.

3. 数列 为等差数列， 为等比数列， ，则          .

试题分析：设公差为 ，由已知， ，解得 ，所以，  .

4. 设 是等差数列 的前 项和，已知 ，则 等于         .49

【解析】在等差数列中， .

5. 数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ___________

【解析】因为an+1=3Sn，所以an=3Sn-1(n≥2)，两式相减得：an+1-an=3an，

即 =4(n≥2)，所以数列a2，a3，a4，…构成以a2=3S1=3a1=3为首项，公比为4的等比数列，

所以a6=a2•44=3×44

6.   __________(用反三角函数符号表示).

【答案】

7. 方程 =   的实数解的个数是______________4029

8. 函数   的值域是         .

试题分析： 且 ,所以 ,根据正切函数的图像可知值域为 或 .

9. 函数f(x)=-2sin(3x+ )表示振动时，请写出在 内的初相________.

f(x)=-2sin(3x+ )=2sin(3x+ )，所以在 内的初相为 。

10. 观察下列等式

，若类似上面各式方法将 分拆得到的等式右边最后一个数是 ，则正整数 等于____.

试题分析：依题意可得 分拆得到的等式右边最后一个数5,11,19,29， .所以第n项的通项为 .所以 .所以 .

11. 已知数列 满足： (m为正整数)， 若 ，则m所有可能的取值为__________。

【答案】4  5  32

12. 设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列.若 ， ，且 ，则

数列{bn}的公比为    .

方法二：由题意可知 ，则 .若 ，易知 ，舍去;若 ，则 且 ，则 ，所以 ，则 ，又 ，且 ，所以 .

二、选择题(本大题共4题，每题4分，满分16分)

13. 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移 个单位，得到的图象对应的僻析式是(   )

A.                        B.

C.                   D.

试题分析：将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数 ，再将所得的图象向左平移 个单位，得函数 ，即 故选C.

考点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

14. 函数f(x)= (   )

A.在  、 上递增，在 、 上递减

B.在 、 上递增，在 、 上递减

C.在 、 上递增，在 、  上递减

D.在 、 上递增，在 、 上递减

试题分析： ，在  、 上 递增，在 、 上， 递减，故选A

15. 数列 满足 表示 前n项之积，则 的值为(    )

A. -3               B.                  C. 3                 D.

【解析】由 得 ，所以 ， ， ，所以 是以3为周期的周期数列，且 ，又 ，所以 ，选A.

16. 已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 使得 ，则 的最小值为(    )

A.                        B.                    C.                D. 不存在

所以 ，

当且仅当 即 取等号，此时 ，

所以 时取最小值，所以最小值为 ，选A.

三、解答题(本大题共4题，满分48分8’+12’ +12’+16’=48’)

17. 已知 ，求 的最大值

【解】由已知条件有 且 (结合 )

得 ，而 =  =

令 则原式=

根据二次函数配方得：当 即 时，原式取得最大值 。

18. 已知函数f(x)= sin 2x-cos2x- ，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期;

(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c= ，f(C)=0，若sin B=2sin A，求a，b的值.

【答案】(1)-2     π      (2)a=1且b=2

(2)f(C)=sin(2C- )-1=0，则sin(2C- )=1.

∵0

∴- <2C- < π，因此2C- = ，∴C= .

∵sin B=2sin A及正弦定理，得b=2a.①

由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos  ，且c= ，

∴a2+b2-ab=3，②

由①②联立，得a=1且b=2.

19. 在等差数列 中， ， .令 ，数列 的前 项和为 .

(1)求数列 的通项公式;

(2)求数列 的前 项和 ;

(3)是否存在正整数 ， ( ),使得 ， ， 成等比数列?若存在，求出所有的 ， 的值;若不存在，请说明理由.

试题解析：(1)设数列 的公差为 ，由 得

解得 ，

∴

(2)∵

∴

(3)由(1)知， ， ，

假设存在正整数 、   ，使得 、 、 成等比数列，

则  ， 即

经化简，得

∴

∴  (*)

当 时，(*)式可化为  ，所以

当 时，

又∵ ，∴(*)式可化为  ，所以此时 无正整数解.

综上可知，存在满足条件的正整数 、 ，此时 ， .

20. 已知函数 ，数列 满足对于一切 有 ，

且 .数列 满足 ，

设 .

(1)求证：数列 为等比数列，并指出公比;

(2)若 ，求数列 的通项公式;

(3)若 ( 为常数)，求数列 从第几项起，后面的项都满足 .

解(1)

故数列 为等比数列，公比为3.

(Ⅱ)

所以数列 是以 为首项,公差为 loga3的等差数列.

又

 

又 =1+3 ,且

(Ⅲ)

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